ИСН wrote:Покрытие гранью одной вершины другой грани не является отношением порядка: транзитивности нет. Что, если три грани собрались этак веером и прикрывают по одной вершине друг друга, по кругу?
Касательно отношения порядка - я вводил его только для полностью покрытых граней полностью. А в остальном я оперирую только покрытием гранью одной вершины без каких-либо других условий(полное покрытие одной грани другой - это ведь вообще второстепенный там вопрос. Такие случаи я просто предлагал отбрасывать, как незначимые для подобного пути док-ва).
На счёт покрытия "веером" - именно вот этот интересный вариант приходит чуть ли не в первую очередь в голову. И именно его "торпедирует" попытка доказательства через число вершин. Но там ещё, конечно, неявно и топологические требования общей связности учитываются. В этом случае как веер не размножай , всё равно создаётся не меньшее число новых вершин, чем удаётся покрыть граней. Иначе грани начнут самопересекаться и всё-такое.
То, что ход мысли весьма "дырявый" мне и так понятно. Можно создавать такие последовательности покрытия, когда добавление одной грани одновременно покрывает несколько вершин
разных и несвязанных непосредственно граней. Но как ни крути, общий индуктивный ход мысли указывает ускоренное увеличение числа вершин, хотя, вроде, при этом неявно используется метрика трёхмерного пространства - поэтому и возникает такая уверенность, что если бы такой многогранник существовал, он должен был бы быть сравнительно простым. Как бы там ни было, на моём скромном уровне выбор наиболее продуктивного пути уже кое-что - эвристическое ощущение, где правильное решение, это именно-то, что, наверное, стоит тренировать полным любителям.
Как видите, я, увы, не предлагаю законченного варианта доказательства. Другой путь, по которому я пытался идти, и который бы отсекал эти самые "веера", это обход линий пересечений граней на центральной проекции. Но всё-равно эффективно оперировать чем-то другим, чем количество вершин vs количество граней у меня не выходит.