Занимательная геометрия

игры, zogадки, анекдоты, картинки...

Moderator: InterimModers

Re: Занимательная геометрия

Postby ИСН » Tue Oct 23, 2018 10:52 pm

Ну вот это он и есть, in a way.
User avatar
ИСН
 
Posts: 2320
Joined: Fri Oct 10, 2003 5:32 pm
Location: с Территории

Re: Занимательная геометрия

Postby IB » Wed Oct 24, 2018 12:24 am

Следующей новости ждать в 2022-ом ? :)
User avatar
IB
 
Posts: 7788
Joined: Wed Jul 25, 2007 9:12 pm

Re: Занимательная геометрия

Postby ИСН » Wed Oct 24, 2018 12:49 am

Могу вспомнить что-нибудь из старого. Вот, например: возможен ли такой многогранник, у которого ни одна вершина не видна из центра?
User avatar
ИСН
 
Posts: 2320
Joined: Fri Oct 10, 2003 5:32 pm
Location: с Территории

Re: Занимательная геометрия

Postby IB » Thu Oct 25, 2018 11:38 am

Что-то желающих демонстрировать свою недалёкость нет. Ну чего уж там, я тогда потуплю (если что - в интернетах не искал, ибо всегда успеется. А так, можно подумать, поучиться на своих ошибках).

Думаю, что такого многогранника не существует. Задача действительно интересная, и скорее всего доказательство элементарно. Тем не менее, мне пока не удалось найти такового. Самый простой и в то же время самый многообещающий путь приблизительно таков:
Для каждой треугольной грани вершину от центра может закрывать одна, две или три других грани (любую нетреугольную грань можно триангулировать и свести всё к треугольным). Если все три вершины выбранной грани закрывает одна грань, то это тривиальный случай - более дальнюю (дальние грани) закрытые грани далее не рассматриваем, поскольку всегда существует более близкая к центру открытая грань с потенциально неприкрытыми вершинами. Если же закрывается только одна или две вершины, то добавление каждой новой прикрывающей грани генерирует не меньшее количество вершин, чем она закрывает. Таким образом полное закрытие невозможно.
User avatar
IB
 
Posts: 7788
Joined: Wed Jul 25, 2007 9:12 pm

Re: Занимательная геометрия

Postby ИСН » Thu Oct 25, 2018 1:19 pm

Ну, есть нюансы. У граней не очень-то хорошо определено понятие "более дальняя". Допустим, одна грань вот: середина её здесь, рукой подать, а углы аж в Бирюлёво, Выхино и Дегунино. Другая сидит в трёх метрах, зато вся. И кто из них дальше?
User avatar
ИСН
 
Posts: 2320
Joined: Fri Oct 10, 2003 5:32 pm
Location: с Территории

Re: Занимательная геометрия

Postby IB » Thu Oct 25, 2018 1:22 pm

Нюансы есть, но скорее другие.
В случае двух граней одна из которых полностью покрывает другую отношение порядка "ближе-дальше" определено точно. А для других случаев я применял лишь "покрытие гранью вершины", что тоже определено точно.
UPD. Как бы там ни было, использование центральной проекции большинство именно подобных вопросов снимает.
User avatar
IB
 
Posts: 7788
Joined: Wed Jul 25, 2007 9:12 pm

Re: Занимательная геометрия

Postby IB » Thu Oct 25, 2018 1:30 pm

ИСН wrote:Допустим, одна грань вот: середина её здесь, рукой подать, а углы аж в Бирюлёво, Выхино и Дегунино. Другая сидит в трёх метрах, зато вся. И кто из них дальше?

Никакая. В контексте написанного ранее, ближе та, из-за которой не видно другой в центральной проекции (ну или же более далёкая грань, это та, которая находится внутри телесного угла, ограниченного тремя лучами проведенными из центра к трём вершинам граней).
Но опять таки, для того хода рассуждений более важно понятие "покрытия" вершины гранью [опять таки в центральной проекции]. Через неё тоже можно определить ближе дальше - если одна грань покрывает три вершины другой, то она покрывает всю грань, а значит она "ближе".
User avatar
IB
 
Posts: 7788
Joined: Wed Jul 25, 2007 9:12 pm

Re: Занимательная геометрия

Postby ИСН » Thu Oct 25, 2018 3:15 pm

Покрытие гранью одной вершины другой грани не является отношением порядка: транзитивности нет. Что, если три грани собрались этак веером и прикрывают по одной вершине друг друга, по кругу?
User avatar
ИСН
 
Posts: 2320
Joined: Fri Oct 10, 2003 5:32 pm
Location: с Территории

Re: Занимательная геометрия

Postby IB » Thu Oct 25, 2018 3:31 pm

ИСН wrote:Покрытие гранью одной вершины другой грани не является отношением порядка: транзитивности нет. Что, если три грани собрались этак веером и прикрывают по одной вершине друг друга, по кругу?

Касательно отношения порядка - я вводил его только для полностью покрытых граней полностью. А в остальном я оперирую только покрытием гранью одной вершины без каких-либо других условий(полное покрытие одной грани другой - это ведь вообще второстепенный там вопрос. Такие случаи я просто предлагал отбрасывать, как незначимые для подобного пути док-ва).

На счёт покрытия "веером" - именно вот этот интересный вариант приходит чуть ли не в первую очередь в голову. И именно его "торпедирует" попытка доказательства через число вершин. Но там ещё, конечно, неявно и топологические требования общей связности учитываются. В этом случае как веер не размножай , всё равно создаётся не меньшее число новых вершин, чем удаётся покрыть граней. Иначе грани начнут самопересекаться и всё-такое.
То, что ход мысли весьма "дырявый" мне и так понятно. Можно создавать такие последовательности покрытия, когда добавление одной грани одновременно покрывает несколько вершин разных и несвязанных непосредственно граней. Но как ни крути, общий индуктивный ход мысли указывает ускоренное увеличение числа вершин, хотя, вроде, при этом неявно используется метрика трёхмерного пространства - поэтому и возникает такая уверенность, что если бы такой многогранник существовал, он должен был бы быть сравнительно простым. Как бы там ни было, на моём скромном уровне выбор наиболее продуктивного пути уже кое-что - эвристическое ощущение, где правильное решение, это именно-то, что, наверное, стоит тренировать полным любителям.

Как видите, я, увы, не предлагаю законченного варианта доказательства. Другой путь, по которому я пытался идти, и который бы отсекал эти самые "веера", это обход линий пересечений граней на центральной проекции. Но всё-равно эффективно оперировать чем-то другим, чем количество вершин vs количество граней у меня не выходит.
User avatar
IB
 
Posts: 7788
Joined: Wed Jul 25, 2007 9:12 pm

Re: Занимательная геометрия

Postby ИСН » Fri Oct 26, 2018 12:16 am

Ну-с, пришло время открыть карты.
Image
User avatar
ИСН
 
Posts: 2320
Joined: Fri Oct 10, 2003 5:32 pm
Location: с Территории

Re: Занимательная геометрия

Postby IB » Fri Oct 26, 2018 12:23 am

Элегантно, спасибо. Это интересная задача. Завтра поломаю ещё голову над дырами в собственных рассуждениях.
User avatar
IB
 
Posts: 7788
Joined: Wed Jul 25, 2007 9:12 pm

Previous

Return to Развлекаемся

Who is online

Users browsing this forum: No registered users and 2 guests